รูปหกเหลี่ยมแบนและห้าเหลี่ยมมารวมกันในรูปแบบใหม่บนรูปทรงหลายเหลี่ยมแบบเก่าในกลอนล่าสุดของบทละเว้นทางคณิตศาสตร์ที่มีอายุหลายศตวรรษ นักวิทยาศาสตร์ได้ค้นพบวิธีขจัดรอยยับในกรงโมเลกุลขนาดใหญ่ กรงมีใบหน้าที่ประกอบด้วยรูปห้าเหลี่ยมปกติ 12 รูปและรูปหกเหลี่ยมไม่ปกติมากถึง 480 รูป ซึ่งจัดเป็นรูปทรงที่รู้จักกันดีเรียกว่าฟูลเลอรีน อย่างไรก็ตาม ไม่เหมือนกับฟูลเลอรีนที่รู้จักก่อนหน้านี้ส่วนใหญ่ ใบหน้านับร้อยของรูปร่างใหม่จะแบนแทนที่จะบิดเบี้ยว และอะตอมในโมเลกุลมีระยะห่างเท่ากัน
ใบหน้าแบนราบของรูปทรงทำให้พวกมันนูนออกมาเป็นรูปทรงหลายเหลี่ยม
ซึ่งเป็นประเภทของแข็งที่มีเหลี่ยมเพชรพลอยที่มีความสมมาตรสูงและมีเหลี่ยมเพชรพลอยที่ศึกษาครั้งแรกโดยชาวกรีกโบราณ ชั้นเฟิร์สคลาสที่ถูกค้นพบ เรียกว่า ของแข็งพลาโตนิก ประกอบด้วยของแข็งที่มีหน้าเหมือนกันซึ่งเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติทั้งหมด ซึ่งหมายถึงรูปร่างที่มีด้านและมุมเท่ากัน มีเพียงห้าของแข็งดังกล่าวซึ่งซับซ้อนที่สุดคือ icosahedron (คุ้นเคยกับผู้เล่นเกมเป็นรูปร่างของลูกเต๋า 20 ด้าน) คลาสที่มีข้อจำกัดน้อยกว่า ซึ่งเรียกว่าของแข็งอาร์คิมีดีน ทำให้ใบหน้ามีรูปร่างที่แตกต่างกัน แม้ว่าจะยังคงเป็นรูปหลายเหลี่ยมปกติก็ตาม คลาสที่มีข้อจำกัดน้อยกว่านี้ ซึ่งค้นพบโดยโยฮันเนส เคปเลอร์ในปี 1611 อนุญาตให้มีใบหน้ารูปสี่เหลี่ยมด้านขนานที่มีความยาวด้านเท่ากันแต่มีมุมไม่เท่ากัน
รูปร่างใหม่ไม่เข้ากับหมวดหมู่เหล่านี้ Stan Schein นักประสาทวิทยาจาก UCLA กล่าวว่า “นี่เป็นชั้นใหม่ประเภทแรกที่มีรูปทรงนูน รูปทรงหลายเหลี่ยมด้านเท่าที่มีสมมาตรแบบ icosahedral” ในรูปทรงหลายเหลี่ยมของ Schein ใบหน้าหกเหลี่ยมมีความยาวด้านเท่ากันแต่มีมุมไม่เท่ากัน งานของ Schein ซึ่งเขาแสดงร่วมกับ James Gayed นักประสาทวิทยาของ UCLA ปรากฏใน วันที่ 10 กุมภาพันธ์ใน Proceedings of the National Academy of Sciences
รูปทรงหลายเหลี่ยมได้รับความสนใจเพิ่มขึ้นในศตวรรษที่ 20 จากนักชีววิทยาและนักเคมี ในปี 1962 Aaron Klug และ Donald Caspar ค้นพบว่าไวรัสบางชนิดมีรูปร่างคล้ายไอโคซาเฮดรอน ในปี 1985 นักเคมี Richard Smalley และเพื่อนร่วมงานได้ค้นพบว่าคาร์บอนก่อตัวเป็นกรงที่มีอะตอมตั้งแต่ 60 อะตอมขึ้นไป พวกเขาเรียกรูปร่าง 60 อะตอมว่า “บัคมินสเตอร์ฟูลเลอรีน” แม้ว่านักคณิตศาสตร์จะรู้จักมันว่าเป็น icosahedron ที่ถูกตัดทอน — และสำหรับผู้ที่ไม่ใช่นักวิทยาศาสตร์ในฐานะลูกฟุตบอล
Schein มาถึงโมเลกุลรูปกรงเพราะเขาอยากรู้เกี่ยวกับ clathrin ซึ่งเป็นโปรตีนที่ประกอบตัวเองในกรง การสร้างแบบจำลองทางกายภาพและด้วยคอมพิวเตอร์ของรูปทรงเหล่านี้ เขารู้สึกว่าบางรูปร่างนั้น “น่าเกลียด”: ถ้าเขาทำขอบให้ยาวเท่ากัน เขาจะวางใบหน้าให้ราบเรียบไม่ได้ อันที่จริง ฟูลเลอรีนทั้งหมดนอกเหนือจากสิบสองอะตอม 20 อะตอมและลูกฟุตบอล 60 อะตอมมีข้อบกพร่องนี้ ทว่ารูปภาพของพวกเขามักจะบิดเบือนการบิดเบือนเหล่านี้ “หลายคนบอกว่า fullerenes เป็นรูปทรงหลายเหลี่ยมนูน แต่จากมุมมองของ geometer ใบหน้าของรูปทรงหลายเหลี่ยมจะต้องเป็นระนาบ” Schein กล่าว นอกจากนี้ ใบหน้าบิดเบี้ยวในลักษณะที่ของแข็งไม่สามารถนูนออกมาได้
Schein ได้พัฒนาวิธีการวัดความบิดเบี้ยว
ซึ่งเขาเรียกว่าความคลาดเคลื่อนของมุมไดเฮดรัล หากคุณเปิดการ์ดอวยพรโดยให้ขอบด้านล่างเปิดได้เพียงมุม 30 องศา ในขณะที่ขอบด้านบนเปิดได้ถึง 90 องศา คุณจะถูกบังคับให้บิดด้านหน้าของการ์ดอวยพร ความคลาดเคลื่อน 60 องศา วัดว่าจำเป็นต้องมีการโค้งงอเท่าใด จากนั้น Schein ทดลองกับ fullerenes ต่างๆ เพื่อดูว่าสามารถตั้งค่าความคลาดเคลื่อนของมุมไดฮีดรัลเป็นศูนย์ได้หรือไม่ เขาแปลกใจที่พบว่าสำหรับ fullerenes คลาสใดคลาสหนึ่งที่เรียกว่า Goldberg polyhedra ใบหน้าทั้งหมดสามารถแบนได้พร้อมกัน ของแข็งเหล่านี้ถูกค้นพบในปี 2480 โดยนักคณิตศาสตร์ Michael Goldberg พวกมันคือฟูลเลอรีนที่มีความสมมาตรสูงที่สุด โดยมีความสมมาตรในการหมุนของลูกฟุตบอลหรือรูปหมวกปีกกว้าง
รูปทรงหลายเหลี่ยมประเภท Goldberg ที่ Schein และ Gayed พบมีใบหน้าหกเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากันแต่มีมุมไม่เท่ากัน เช่นเดียวกับใบหน้าห้าเหลี่ยมที่รักษาทั้งสองด้านเท่ากันและมุมที่เท่ากัน นอกจากนี้ ยังรักษาสมมาตรการหมุน 60 เท่าของรูปทรงหลายเหลี่ยม Goldberg ดั้งเดิม ทีมงานใช้ซอฟต์แวร์คอมพิวเตอร์สร้างรูปทรงหลายเหลี่ยมที่มีจุดยอดมากถึง 980 จุด
เมื่อจำนวนจุดยอดมีมาก รูปทรงหลายเหลี่ยมเหล่านี้จะแยกได้ยากจากทรงกลม ในทางตรงกันข้าม ฟูลเลอรีนทั่วไปเข้าใกล้รูปร่างที่ไม่โค้งมนอย่างชัดเจน ความโค้งมนของรูปทรงหลายเหลี่ยม Goldberg อาจทำให้มีประโยชน์มากขึ้นสำหรับการใช้งานที่ทรงกลมมีความสำคัญ เช่น การออกแบบรูปแบบรอยบุ๋มที่ดีขึ้นบนลูกกอล์ฟ หน้าแบนสามารถทำให้พวกมันเป็นแบบจำลองที่เกี่ยวข้องสำหรับกรงโมเลกุลที่มีพันธะคู่ Schein ชี้ให้เห็น เนื่องจากพันธะดังกล่าวมีความทนทานต่อการแปรปรวนมากกว่าพันธะเดี่ยว
แม้ว่าสาขาวิชาของ Schein และ Gayed จะห่างไกลจากเรขาคณิต นักคณิตศาสตร์ก็ปรบมือให้กับการค้นพบของพวกเขา “ถูกต้อง และผลลัพธ์ก็ใหม่” Branko Grünbaum นักคณิตศาสตร์จากมหาวิทยาลัยวอชิงตันในซีแอตเทิลกล่าว
นักคณิตศาสตร์มองข้ามรูปทรงหลายเหลี่ยมของ Goldberg ที่มีรูปทรงหลายเหลี่ยมเท่ากันหมด Grünbaum กล่าว เนื่องจากนักวิจัยให้ความสำคัญกับจำนวนและรูปแบบของใบหน้ามากกว่าคำถามที่เป็นรูปธรรม เช่น ความยาวของด้านและมุมระหว่างพวกเขาเป็นอย่างไร Egon Schulte นักเรขาคณิตที่มหาวิทยาลัย Northeastern ในบอสตันเห็นด้วย “คุณต้องทำให้มือสกปรกเพื่อตอบคำถามเหล่านั้น” เขากล่าว
